'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
$ height: num 152 140 137 157 145 ...
$ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
$ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
$ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
Un cours en R et Stan avec brms
Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne
Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial
Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire
Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite)
Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo
Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé
Cours n°07 : Comparaison de modèles
Cours n°08 : Modèles multi-niveaux (généralisés)
Cours n°09 : Examen final
\[\newcommand\given[1][]{\:#1\vert\:}\]
\[ \begin{align} y_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i}&= \alpha + \beta x_{i} \\ \alpha &\sim \mathrm{Normal}(60, 10) \\ \beta &\sim \mathrm{Normal}(0, 10) \\ \sigma &\sim \mathrm{HalfCauchy}(0, 1) \end{align} \]
Objectif de la séance : comprendre ce type de modèle.
Les constituants de nos modèles seront toujours les mêmes et nous suivrons les trois mêmes étapes :
'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
$ height: num 152 140 137 157 145 ...
$ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
$ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
$ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
\[h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\mu, \sigma)\]
\[ p(x \given \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
Contraintes : Certaines valeurs soient fortement probables (autour de la moyenne \(\mu\)). Plus on s’éloigne, moins les valeurs sont probables (en suivant une décroissance exponentielle).
\[ y = \exp \big[-x^{2} \big] \]
On étend notre fonction aux valeurs négatives.
\[ y = \exp \big[-x^{2} \big] \]
Les points d’inflection nous donnent une bonne indication de là où la plupart des valeurs se trouvent (i.e., entre les points d’inflection). Les pics de la dérivée nous montrent les points d’inflection.
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2} x^{2} \bigg] \]
Ensuite on standardise la distribution de manière à ce que les deux points d’inflection se trouvent à \(x = -1\) et \(x = 1\).
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} x^{2} \bigg] \]
On insère un paramètre \(\sigma^{2}\) pour contrôler la distance entre les points d’inflection.
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} (\color{orangered}{\mu} - x)^{2} \bigg] \]
On insère ensuite un paramètre \(\mu\) afin de pouvoir contrôler la position (la tendance centrale) de la distribution.
\[ y = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \color{steelblue}{\sigma^{2}}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} (\color{orangered}{\mu} - x)^{2} \bigg] \]
Mais… cette distribution n’intègre pas à 1. On divise donc par une constante de normalisation (la partie gauche), afin d’obtenir une distribution de probabilité.
Nous allons construire un modèle de régression, mais avant d’ajouter un prédicteur, essayons de modéliser la distribution des tailles.
On cherche à savoir quel est le modèle (la distribution) qui décrit le mieux la répartition des tailles. On va donc explorer toutes les combinaisons possibles de \(\mu\) et \(\sigma\) et les classer par leurs probabilités respectives.
Notre but, une fois encore, est de décrire la distribution postérieure, qui sera donc d’une certaine manière une distribution de distributions.
On définit \(p(\mu, \sigma)\), la distribution a priori conjointe de tous les paramètres du modèle. On peut spécifier ces priors indépendamment pour chaque paramètre, sachant que \(p(\mu, \sigma) = p(\mu) p(\sigma)\).
\[\color{steelblue}{\mu \sim \mathrm{Normal}(178, 20)}\]
On définit \(p(\mu, \sigma)\), la distribution a priori conjointe de tous les paramètres du modèle. On peut spécifier ces priors indépendamment pour chaque paramètre, sachant que \(p(\mu, \sigma) = p(\mu) p(\sigma)\).
\[\color{steelblue}{\sigma \sim \mathrm{Uniform}(0, 50)}\]
library(ks)
sample_mu <- rnorm(1e4, 178, 20) # prior on mu
sample_sigma <- runif(1e4, 0, 50) # prior on sigma
prior <- data.frame(cbind(sample_mu, sample_sigma) ) # multivariate prior
H.scv <- Hscv(x = prior, verbose = TRUE)
fhat_prior <- kde(x = prior, H = H.scv, compute.cont = TRUE)
plot(
fhat_prior, display = "persp", col = "steelblue", border = NA,
xlab = "\nmu", ylab = "\nsigma", zlab = "\n\np(mu, sigma)",
shade = 0.8, phi = 30, ticktype = "detailed",
cex.lab = 1.2, family = "Helvetica")On veut calculer la probabilité d’observer une certaine valeur de taille, sachant certaines valeurs de \(\mu\) et \(\sigma\), c’est à dire :
\[ p(x \given \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
\[ p(x \given \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
Ou avec une fonction maison…
\[ \color{purple}{p(\mu, \sigma \given h)} = \frac{\prod_{i} \color{orangered}{\mathrm{Normal}(h_{i} \given \mu, \sigma)}\color{steelblue}{\mathrm{Normal}(\mu \given 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \given 0, 50)}} {\color{green}{\int \int \prod_{i} \mathrm{Normal}(h_{i} \given \mu, \sigma)\mathrm{Normal}(\mu \given 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \given 0, 50) \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \sigma}} \]
\[ \color{purple}{p(\mu, \sigma \given h)} \propto \prod_{i} \color{orangered}{\mathrm{Normal}(h_{i} \given \mu, \sigma)}\color{steelblue}{\mathrm{Normal}(\mu \given 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \given 0, 50)} \]
Il s’agit de la même formule vue lors des cours 1 et 2, mais cette fois en considérant qu’il existe plusieurs observations de taille (\(h_{i}\)), et deux paramètres à estimer : \(\mu\) et \(\sigma\).
Pour calculer la vraisemblance marginale (en vert), il faut donc intégrer sur deux paramètres : \(\mu\) et \(\sigma\). On réalise ici encore que la probabilité a posteriori est proportionnelle au produit de la vraisemblance et du prior.
# on définit une grille de valeurs possibles pour mu et sigma
mu.list <- seq(from = 140, to = 160, length.out = 200)
sigma.list <- seq(from = 4, to = 9, length.out = 200)
# on étend la grille à toutes les combinaisons possibles de mu et sigma
post <- expand.grid(mu = mu.list, sigma = sigma.list)
# calcul de la log-vraisemblance (pour chaque combinaison de mu et sigma)
post$LL <-
sapply(
1:nrow(post),
function(i) sum(dnorm(
d2$height,
mean = post$mu[i],
sd = post$sigma[i],
log = TRUE) )
)
# calcul de la probabilité a posteriori (non normalisée)
post$prod <-
post$LL +
dnorm(x = post$mu, mean = 178, sd = 20, log = TRUE) +
dunif(x = post$sigma, min = 0, max = 50, log = TRUE)
# on "annule" le log et on standardise par la valeur maximale (pour éviter les erreurs d'arrondi)
post$prob <- exp(post$prod - max(post$prod) ) mu sigma LL prod prob
1 158.9950 6.939698 -1294.509 -1302.787 3.061742e-33
2 153.0653 5.180905 -1309.815 -1318.419 4.979087e-40
3 141.2060 8.899497 -1624.249 -1633.768 5.527241e-177
4 147.4372 5.834171 -1518.449 -1527.444 8.294039e-131
5 159.6985 4.703518 -1551.035 -1559.280 1.236927e-144
6 144.2211 5.005025 -2066.715 -2075.968 0.000000e+00
7 156.3819 4.226131 -1451.218 -1459.628 2.346978e-101
8 153.9698 4.778894 -1337.744 -1346.293 3.903626e-52
9 154.1709 8.396985 -1222.133 -1230.669 6.400155e-02
10 154.2714 6.638191 -1228.907 -1237.438 7.355137e-05
11 151.7588 7.919598 -1242.212 -1250.899 1.048422e-10
12 151.8593 7.140704 -1247.623 -1256.304 4.712972e-13
13 143.8191 5.557789 -1929.683 -1938.970 1.566645e-309
14 150.9548 8.849246 -1255.101 -1263.842 2.509686e-16
15 143.8191 4.527638 -2365.591 -2374.878 0.000000e+00
16 151.4573 4.577889 -1443.718 -1452.426 3.152275e-98
17 141.8090 4.201005 -3055.646 -3065.110 0.000000e+00
18 158.9950 4.552764 -1528.774 -1537.052 5.568941e-135
19 141.1055 4.326633 -3112.395 -3121.924 0.000000e+00
20 141.9095 5.783920 -2102.606 -2112.061 0.000000e+00
Under the hood : Stan est un langage de programmation probabiliste écrit en C++, et qui implémente plusieurs algorithmes de MCMC : HMC, NUTS, L-BFGS…
data {
int<lower=0> J; // number of schools
real y[J]; // estimated treatment effects
real<lower=0> sigma[J]; // s.e. of effect estimates
}
parameters {
real mu;
real<lower=0> tau;
real eta[J];
}
transformed parameters {
real theta[J];
for (j in 1:J)
theta[j] = mu + tau * eta[j];
}
model {
target += normal_lpdf(eta | 0, 1);
target += normal_lpdf(y | theta, sigma);
}Le package brms (Bürkner, 2017) permet de fitter des modèles multi-niveaux (ou pas) linéaires (ou pas) bayésiens en Stan mais en utilisant la syntaxe de lme4.
Par exemple, le modèle suivant :
\[ \begin{align} y_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i} &= \alpha + \alpha_{\text{subject}[i]} + \alpha_{\text{item}[i]} + \beta x_{i} \\ \end{align} \]
Le package brms utilise la même syntaxe que les fonctions de base R (comme lm) ou que le package lme4.
La partie gauche représente notre variable dépendante (ou outcome, i.e., ce qu’on essaye de prédire). Le package brms permet également de fitter des modèles multivariés (plusieurs outcomes) en les combinant avec mvbind().
Si l’on veut fitter un modèle sans intercept (why not), il faut le spécifier explicitement comme ci-dessous.
Par défaut brms postule une vraisemblance gaussienne. Ce postulat peut être changé facilement en spécifiant la vraisemblance souhaitée via l’argument family.
Lisez la documentation (c’est très enthousiasmant à lire) accessible via ?brm.
# générer le code du modèle en Stan
make_stancode(formula, ...)
stancode(fit)
# définir les priors
get_prior(formula, ...)
set_prior(prior, ...)
# récupérer les prédictions du modèle
fitted(fit, ...)
predict(fit, ...)
conditional_effects(fit, ...)
# posterior predictive checking
pp_check(fit, ...)
# comparaison de modèles
loo(fit1, fit2, ...)
bayes_factor(fit1, fit2, ...)
model_weights(fit1, fit2, ...)
# test d'hypothèse
hypothesis(fit, hypothesis, ...) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
b_Intercept 154.6045 0.4197427 153.787369 155.43024
sigma 7.7679 0.2902743 7.225066 8.36547
Ces données représentent les distributions marginales de chaque paramètre. En d’autres termes, la probabilité de chaque valeur de \(\mu\), moyennée sur toutes les valeurs possible de \(\sigma\), est décrite par une distribution gaussienne avec une moyenne de \(154.6\) et un écart type de \(0.42\). L’intervalle de crédibilité (\(\neq\) intervalle de confiance) nous indique les 95% valeurs de \(\mu\) ou \(\sigma\) les plus probables (sachant les données et les priors).
Par défaut brms utilise un prior très peu informatif centré sur la valeur moyenne de la variable mesurée. On peut donc affiner l’estimation réalisée par ce modèle en utilisant nos connaissances sur la distribution habituelle des tailles chez les humains.
La fonction get_prior() permet de visualiser une liste des priors par défaut ainsi que de tous les priors qu’on peut spécifier, sachant une certaine formule (i.e., une manière d’écrire notre modèle) et un jeu de données.
Family: gaussian
Links: mu = identity
Formula: height ~ 1
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Regression Coefficients:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 154.61 0.42 153.80 155.44 1.00 3101 2416
Further Distributional Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 7.76 0.30 7.19 8.38 1.00 3154 2598
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
Family: gaussian
Links: mu = identity
Formula: height ~ 1
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Regression Coefficients:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 177.86 0.10 177.67 178.07 1.00 3238 2695
Further Distributional Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 24.58 0.94 22.78 26.52 1.00 3359 2438
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
On remarque que la valeur estimée pour \(\mu\) n’a presque pas “bougée” du prior…mais on remarque également que la valeur estimée pour \(\sigma\) a largement augmentée. Nous avons dit au modèle que nous étions assez certain de notre valeur de \(\mu\), le modèle s’est ensuite “adapté”, ce qui explique la valeur de \(\sigma\)…
Le prior peut généralement être considéré comme un posterior obtenu sur des données antérieures.
On sait que le \(\sigma\) d’un posterior gaussien nous est donné par la formule :
\[\sigma_{\text{post}} = 1\ /\ \sqrt{n}\]
Qui implique une quantité de données \(n = 1\ /\ \sigma^2_{\text{post}}\). Notre prior avait un \(\sigma = 0.1\), ce qui donne \(n = 1\ /\ 0.1^2 = 100\).
On peut donc considérer que le prior \(\mu \sim \mathrm{Normal}(178, 0.1)\) est équivalent au cas dans lequel nous aurions observé \(100\) tailles de moyenne \(178\).
# A draws_df: 6 iterations, 1 chains, and 6 variables
b_Intercept sigma Intercept lprior lp__ density
1 154 7.7 154 -9.3 -1227 0.78
2 155 7.8 155 -9.3 -1227 0.89
3 155 7.8 155 -9.3 -1227 1.08
4 155 7.5 155 -9.2 -1228 0.45
5 155 7.5 155 -9.2 -1228 0.35
6 155 7.6 155 -9.3 -1227 0.65
# ... hidden reserved variables {'.chain', '.iteration', '.draw'}
Comment est-ce que la taille co-varie avec le poids ?
\[ \begin{align} h_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i} &= \alpha + \beta x_{i} \\ \end{align} \]
On considère un modèle de régression linéaire avec un seul prédicteur, une pente, un intercept, et des résidus distribués selon une loi normale. La notation :
\[ h_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} \quad \text{avec} \quad \epsilon_{i} \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma) \]
est équivalente à :
\[ h_{i} - (\alpha + \beta x_{i}) \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma) \]
et si on réduit encore un peu :
\[ h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\alpha + \beta x_{i}, \sigma). \]
Les notations ci-dessus sont équivalentes, mais la dernière est plus flexible, et nous permettra par la suite de l’étendre plus simplement aux modèles multi-niveaux.
\[ \begin{aligned} \color{orangered}{h_{i}} \ &\color{orangered}{\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i},\sigma)} \\ \color{black}{\mu_{i}} \ &\color{black}{= \alpha + \beta x_{i}} \\ \color{steelblue}{\alpha} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(178, 20)} \\ \color{steelblue}{\beta} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(0, 10)} \\ \color{steelblue}{\sigma} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{aligned} \]
Dans ce modèle \(\mu\) n’est plus un paramètre à estimer (car \(\mu\) est déterminé par \(\alpha\) et \(\beta\)). À la place, nous allons estimer \(\alpha\) et \(\beta\).
Rappels : \(\alpha\) est l’intercept, c’est à dire la taille attendue, lorsque le poids est égal à \(0\). \(\beta\) est la pente, c’est à dire le changement de taille attendu quand le poids augmente d’une unité.
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
b_Intercept 113.935660 1.93499678 110.1577668 117.7253819
b_weight 0.903843 0.04288601 0.8203125 0.9886313
sigma 5.108481 0.19146374 4.7471330 5.5101337
Intercept 154.599993 0.27054381 154.0773784 155.1350075
lprior -12.481085 0.01595776 -12.5121819 -12.4500076
lp__ -1083.369840 1.27240436 -1086.6295737 -1081.9629338
\(\alpha = 113.89, 95\% \ \text{CrI} \ [110.15, 117.58]\) représente la taille moyenne quand le poids est égal à 0kg…
\(\beta = 0.90, 95\% \ \text{CrI} \ [0.82, 0.99]\) nous indique qu’une augmentation de 1kg entraîne une augmentation de 0.90cm.
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
Intercept 154.5994591 0.27426699 154.0542455 155.1300320
weight.c 0.9045373 0.04204148 0.8215871 0.9884222
Après avoir centré la réponse, l’intercept représente désormais la valeur attendue de taille (en cm) lorsque le poids est à sa valeur moyenne.
d2 %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
# geom_abline(intercept = fixef(mod4)[1], slope = fixef(mod4)[2], lwd = 1)
geom_smooth(
data = data.frame(fitted(object = mod4) ) %>% bind_cols(data.frame(weight = d2$weight) ),
aes(y = Estimate), stat = "identity",
se = FALSE, color = "black"
)# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 25, to = 70, by = 1) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(fitted(mod4, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de mu
head(mu, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight
1 136.5317 0.8860921 134.8008 138.2867 25
2 137.4356 0.8453499 135.7926 139.1152 26
3 138.3394 0.8048305 136.7873 139.9401 27
4 139.2433 0.7645694 137.7735 140.7670 28
5 140.1471 0.7246095 138.7541 141.5927 29
6 141.0509 0.6850036 139.7259 142.4171 30
7 141.9548 0.6458168 140.7009 143.2444 31
8 142.8586 0.6071303 141.6823 144.0660 32
9 143.7625 0.5690460 142.6552 144.8907 33
10 144.6663 0.5316936 143.6277 145.7207 34
Pour rappel, voici notre modèle : \(h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\alpha + \beta x_{i}, \sigma)\). Pour l’instant, on a seulement représenté les prédictions pour \(\mu\). Comment incorporer \(\sigma\) dans nos prédictions ?
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 25, to = 70, by = 1) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
pred_height <- data.frame(predict(mod4, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de pred_height
head(pred_height, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight
1 136.4958 5.210778 125.9665 146.5433 25
2 137.5105 5.203370 127.4020 147.5928 26
3 138.3240 5.282785 127.9310 148.6324 27
4 139.2321 5.204944 129.0828 149.5257 28
5 140.2324 5.191780 130.0902 150.5227 29
6 140.9906 5.110237 131.2634 151.0389 30
7 142.0046 5.068778 131.7819 151.7580 31
8 142.8370 5.051073 132.6510 152.5630 32
9 143.8292 5.203224 133.6205 154.0017 33
10 144.7556 5.087466 134.9763 154.9697 34
d2 %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Le paquet brms propose aussi les fonctions posterior_epred(), posterior_linpred(), et posterior_predict(), qui permettent de générer des prédictions à partir de modèles fittés avc brms. Andrew Heiss décrit de manière détaillée le fonctionnement de ces fonction dans cet article de blog.
Deux sources d’incertitude dans le modèle : incertitude concernant l’estimation de la valeur des paramètres mais également concernant le processus d’échantillonnage.
Incertitude épistémique : La distribution a posteriori ordonne toutes les combinaisons possibles des valeurs des paramètres selon leurs plausibilités relatives.
Incertitude aléatoire : La distribution des données simulées est elle, une distribution qui contient de l’incertitude liée à un processus d’échantillonnage (i.e., générer des données à partir d’une gaussienne).
Voir aussi ce court article par O’Hagan (2004).
Pourquoi standardiser les prédicteurs ?
Interprétation. Permet de comparer les coefficients de plusieurs prédicteurs. Un changement d’un écart-type du prédicteur correspond à un changement d’un écart-type sur la réponse (si la réponse est aussi standardisée).
Fitting. Quand les prédicteurs contiennent de grandes valeurs (ou des valeurs trop différentes les unes des autres), cela peut poser des problèmes de convergence (cf. Cours n°05).
\[ \begin{aligned} \color{orangered}{h_{i}} \ &\color{orangered}{\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma)} \\ \color{black}{\mu_{i}} \ &\color{black}{= \alpha + \beta_{1} x_{i} + \beta_{2} x_{i}^{2}} \\ \color{steelblue}{\alpha} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(156, 100)} \\ \color{steelblue}{\beta_{1}, \beta_{2}} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(0, 10)} \\ \color{steelblue}{\sigma} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{aligned} \]
À vous de construire et fitter ce modèle en utilisant brms::brm().
Family: gaussian
Links: mu = identity
Formula: height ~ 1 + weight.s + I(weight.s^2)
Data: d (Number of observations: 544)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Regression Coefficients:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 146.66 0.37 145.94 147.40 1.00 3655 2742
weight.s 21.40 0.30 20.84 22.00 1.00 3295 2906
Iweight.sE2 -8.41 0.28 -8.98 -7.87 1.00 3431 2912
Further Distributional Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.78 0.17 5.45 6.14 1.00 3706 2855
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight.s = seq(from = -2.5, to = 2.5, length.out = 50) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(fitted(mod6, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(predict(mod6, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de pred_height
head(pred_height, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight.s
1 40.57697 5.811165 29.22392 52.20651 -2.500000
2 46.83820 5.997916 35.30107 58.71650 -2.397959
3 53.35506 5.821416 41.77351 64.75882 -2.295918
4 59.13641 5.872016 48.01949 70.47704 -2.193878
5 65.23375 5.865121 53.44921 76.37881 -2.091837
6 70.69319 5.929552 59.18440 82.38130 -1.989796
7 76.24588 5.791103 64.91581 87.36942 -1.887755
8 81.54334 5.860045 70.00197 92.74474 -1.785714
9 86.74731 5.641507 75.50436 97.45838 -1.683673
10 91.67614 5.872813 80.15988 103.27115 -1.581633
d %>%
ggplot(aes(x = weight.s, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight.s, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Plusieurs méthodes pour calculer les tailles d’effet dans les modèles bayésiens. Gelman & Pardoe (2006) proposent une méthode pour calculer un \(R^{2}\) basé sur l’échantillon.
Marsman & Wagenmakers (2017) et Marsman et al. (2019) généralisent des méthodes existantes pour calculer un \(\rho^{2}\) pour les designs de type ANOVA (i.e., avec prédicteurs catégoriels), qui représente une estimation de la taille d’effet dans la population (et non basée sur l’échantillon).
Similar to most of the ES measures that have been proposed for the ANOVA model, the squared multiple correlation coefficient \(\rho^{2}\) […] is a so-called proportional reduction in error measure (PRE). In general, a PRE measure expresses the proportion of the variance in an outcome \(y\) that is attributed to the independent variables \(x\) (Marsman et al., 2019).
\[ \begin{aligned} \rho^{2} &= \dfrac{\sum_{i = 1}^{n} \pi_{i}(\beta_{i} - \beta)^{2}}{\sigma^{2} + \sum_{i=1}^{n} \pi_{i}(\beta_{i} - \beta)^{2}} \\ \rho^{2} &= \dfrac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}}{\sigma^{2} + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \beta_{i}^{2}} \\ \rho^{2} &= \dfrac{\beta^{2} \tau^{2}}{\sigma^{2} + \beta^{2} \tau^{2}}\\ \end{aligned} \]
On a présenté un nouveau modèle à deux puis trois paramètres : le modèle gaussien, puis la régression linéaire gaussienne, permettant de mettre en relation deux variables continues.
Comme précédemment, le théorème de Bayes est utilisé pour mettre à jour nos connaissances a priori quant à la valeur des paramètres en une connaissance a posteriori, synthèse entre nos priors et l’information contenue dans les données.
La package brms permet de fitter toutes sortes de modèles avec une syntaxe similaire à celle utilisée par lm().
La fonction fitted() permet de récupérer les prédictions d’un modèle fitté avec brms.
La fonction predict() permet de simuler des données à partir d’un modèle fitté avec brms.
Sélectionner toutes les lignes du jeu de données howell correspondant à des individus mineurs (age < 18). Cela devrait résulter en une dataframe de 192 lignes.
Fitter un modèle de régression linéaire en utilisant la fonction brms::brm(). Reporter et interpréter les estimations de ce modèle. Pour une augmentation de 10 unités de weight, quelle augmentation de taille (height) le modèle prédit-il ?
Faire un plot des données brutes avec le poids sur l’axe des abscisses et la taille sur l’axe des ordonnées. Surimposer la droite de régression du modèle et un intervalle de crédibilité à 89% pour la moyenne. Ajouter un intervalle de crédibilité à 89% pour les tailles prédites.
Que pensez-vous du “fit” du modèle ? Quelles conditions d’application du modèle seriez-vous prêt.e.s à changer, afin d’améliorer le modèle ?
Imaginons que vous ayez consulté une collègue experte en allométrie (i.e., les phénomènes de croissance différentielle d’organes) et que cette dernière vous explique que ça ne fait aucun sens de modéliser la relation entre le poids et la taille… alors qu’on sait que c’est le logarithme du poids qui est relié (linéairement) à la taille !
Modéliser alors la relation entre la taille (cm) et le log du poids (log-kg). Utiliser la dataframe howell en entier (les 544 lignes). Fitter le modèle suivant en utilisant brms::brm().
\[ \begin{align*} &\color{orangered}{h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma)} \\ &\mu_{i}= \alpha + \beta \cdot \log (w_{i}) \\ &\color{steelblue}{\alpha \sim \mathrm{Normal}(178, 100)} \\ &\color{steelblue}{\beta \sim \mathrm{Normal}(0, 100)} \\ &\color{steelblue}{\sigma \sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{align*} \]
Où \(h_{i}\) est la taille de l’individu \(i\) et \(w_{i}\) le poids de l’individu \(i\). La fonction pour calculer le log en R est simplement log(). Est-ce que vous savez interpréter les résultats ? Indice : faire un plot des données brutes et surimposer les prédictions du modèle…
# on garde seulement les individus ayant moins de 18 ans
d <- open_data(howell) %>% filter(age < 18)
priors <- c(
prior(normal(150, 100), class = Intercept),
prior(normal(0, 10), class = b),
prior(exponential(0.01), class = sigma)
)
mod7 <- brm(
height ~ 1 + weight,
prior = priors,
family = gaussian(),
data = d
) Family: gaussian
Links: mu = identity
Formula: height ~ 1 + weight
Data: d (Number of observations: 192)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Regression Coefficients:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 58.22 1.40 55.96 60.42 1.00 4070 2778
weight 2.72 0.07 2.61 2.83 1.00 4134 3067
Further Distributional Parameters:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 8.54 0.44 7.87 9.25 1.00 3643 2595
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 5, to = 45, length.out = 1e2) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(
fitted(mod7, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(
predict(mod7, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 6 premières lignes de pred_height
head(pred_height) Estimate Est.Error Q5.5 Q94.5 weight
1 71.64563 8.559689 58.12263 85.36687 5.000000
2 73.17543 8.530262 59.63461 86.66284 5.404040
3 73.98510 8.583730 60.25919 87.54401 5.808081
4 74.86371 8.536553 61.36117 88.47888 6.212121
5 76.18629 8.449599 62.86322 89.97886 6.616162
6 77.24966 8.714219 63.52668 91.25127 7.020202
d %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
) Family: gaussian
Links: mu = identity
Formula: height ~ 1 + log(weight)
Data: d (Number of observations: 544)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Regression Coefficients:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept -23.61 1.31 -25.73 -21.52 1.00 4639 2960
logweight 47.02 0.38 46.41 47.63 1.00 4599 3112
Further Distributional Parameters:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.16 0.16 4.91 5.41 1.00 4436 2857
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 5, to = 65, length.out = 1e2) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(
fitted(mod8, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(
predict(mod8, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 6 premières lignes de pred_height
head(pred_height) Estimate Est.Error Q5.5 Q94.5 weight
1 52.06251 5.305675 43.43421 60.41786 5.000000
2 57.54225 5.185430 49.32798 65.82012 5.606061
3 62.43654 5.217699 54.03547 70.88683 6.212121
4 66.64369 5.260536 58.21500 75.08837 6.818182
5 70.64737 5.270636 61.98765 78.95592 7.424242
6 74.38081 5.190118 66.33664 82.78882 8.030303
d %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Ladislas Nalborczyk - IMSB2026